Bewijzen

 

 

  

Bewijzen blijft lastig

Dat is de bemoedigende titel van hoofdstuk 5 in de studiewijzer van Meetkunde A. Hierbij wordt verwezen naar het boek Moderne Wiskunde B2 deel 1 voor de bovenbouw VWO. In hoofdstuk 1.3 staat de volgende SPA (Systematische Probleem Aanpak):

 

Stap 1         Verken het probleem. Teken een analysefiguur.

Stap 2         Analyseer het probleem door:

Stap 3         Noteer het bewijs volgens het bewijsschema.

 

 

In het boek Calculus wordt aan het eind van hoofdstuk 1 een samenvatting gegeven van de “Principles of Problem Solving”, zoals George Polya deze in zijn boek “How to Solve It” (een aanrader) heeft beschreven. Hij onderscheidt de volgende stappen:

 

Step 1         Understand the problem

Step 2         Think of a plan

Step 3         Carry out the plan

Step 4         Look back.

 

Nu zijn dit soort recepten wel leuk, maar ze geven geen enkele garantie dat het uiteindelijke gerecht in de smaak valt bij jouw gasten. Behalve een goed recept komt er dus meer bij kijken. In de eerste plaats ervaring.

 

Er is dus veel training nodig. Net zoals een meesterkok iedere dag weer zijn piepers gaar stoomt, is het in de algebra nodig om regelmatig dezelfde soort bewijsvoeringen te herhalen. Zodat het vaardigheden worden, die je "in je vingers" hebt.

 

En je hebt er "gevoel" voor nodig. Algebra is immers ook een kwestie van een goede wiskundige attitude ontwikkelen. Wat is een goed geformuleerd en sluitend bewijs? Wat is een gedegen en tevens leesbaar verhaal voor onze gasten? Kan het de toets der kritiek doorstaan? Om je daarbij op weg te helpen, zijn er wel enkele tips en trucs te geven.

 

 

Bewijsaanpak

Eerst nog even terug naar een bewijsaanpak. Kijk eens op naar het wiskunde ABC op www.wiskundeweb.nl/ ProABC.html. Daaruit kunnen we de volgende stappen in een bewijsvoering destilleren:

 

Analyse

 

Aanpak

 

Bewijs

 

Controle

 

 

Keuze bewijsstrategie

In hoofdstuk 6 komen een groot aantal bewijsstrategieën aan de orde. Sommige hebben een breed toepassingsgebied, net zoals de strooibus met peper van de meesterkok. Andere lenen zich met name voor specifieke situaties, bijvoorbeeld bij oosterse gerechten. Bij sommige opgaven zijn er zelfs meerdere wegen naar Rome, waarbij je hooguit nog met elkaar over de smaak kunt twisten wat het kortste, fraaiste of vindingrijkste bewijs is.
Kijk bijvoorbeeld eens op www.cut-the-knot.com/pythagoras/index.shtml naar 54 verschillende bewijzen van de stelling van Pythagoras.

 

In een poging om enig handvat te bieden bij de keuze van een bewijsstrategie het volgende overzicht:

 

Bewijsstrategie

Toepasbaar

Pigeonhole-principe

als f:AB met #A>#B

Volledige inductie

bij stellingen die een bewering bevatten voor een oneindige, maar aftelbare reeks gevallen,
bijvoorbeeld alle
n

Contrapositie

bij stellingen met een implicatie en als de contrapositie eenvoudiger is te bewijzen dan de stelling zelf

Waarheidstabellen

eigenschappen in de logica

Gevalsonderscheiding

als er meerdere verschillende situaties te onderscheiden zijn bij de bewijsvoering

Bewijs uit het ongerijmde

als een direct bewijs moeilijk te leveren is

 

De toepassing van de overige genoemde bewijsvormen spreekt voor zich.

 

 

Bewijs met behulp van volledige inductie

Hierover hebben wij een aparte bijdrage geschreven. Deze is op te vragen via de index.

 

 

Bewijs met behulp van de contrapositie

De stelling: "als er schaduw is, dan is er licht" heeft hetzelfde waarheidsgehalte als: "als er geen licht is, is er geen schaduw".

In sommige gevallen is die contrapositie gemakkelijker te bewijzen dan de eigenlijke stelling. Lukt het om de contrapositie te bewijzen, dan heb je daarmee automatisch de stelling zelf bewezen.

Meer informatie: www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=14968

 

 

Bewijs uit het ongerijmde

Als een direct bewijs voor een stelling moeilijk te leveren is, proberen we het indirect. We benaderen het vanaf de andere kant. Stel nu dat de stelling niet waar is, dan… en dan… kom ik op iets uit wat helemaal nooit waar kan zijn. Dus móet de stelling wel waar zijn.

Vergelijk dit met: "het kàn eigenlijk niet anders dat…, want anders klopt … niet". Meer informatie: nl.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum.

 

 

Uitwerken van het bewijs

Het is (zeker op een tentamen) belangrijk dat je bewijs leesbaar en duidelijk is voor jouw publiek. Gebruik dus geen telegramstijl, maar volledige Nederlandse zinnen. Ook bewijzen met formele wiskundige notaties behoeven vaak een toelichting: wat je feitelijk gaat bewijzen en een verantwoording van je bewijsstappen (eventueel tussen haakjes).

 

 

Oefenopgave 6A1 (bekijk de uitwerking)

Bewijs of weerleg de volgende stelling: "Er zijn oneindig veel priemgetallen".

Maak gebruik van het wiskunde ABC en maak er een duidelijk verhaal van.

 

 

Oefenopgave 6A2 (bekijk de uitwerking)

Bewijs of weerleg dat voor alle n, n5 geldt: 2n>n2.

 

 

Oefenopgave 6A3 (bekijk de uitwerking)

Bewijs dat een jampot vacuüm is als er geen lucht meer in zit.

 

 

Gebruik maken van een definitie bij bewijzen

In de voorgaande hoofdstukken zijn we regelmatig bewijzen tegen gekomen waarbij gebruik gemaakt werd van definities of eerder bewezen stellingen. Daarbij is het belangrijk om de voldoende voorwaarden goed te controleren. Bij het toepassen van het ondergroepcriterium (stelling 5.9) bestaat het bewijs zelfs alleen maar uit het controleren van alle voldoende voorwaarden.

 

 

Oefenopgave 6A4 (bekijk de uitwerking)

 

Gegeven A={1,3,5,7}, B={1,3} en C={1,3,5}. (A,8) is een groep.

Bewijs of weerleg dat (B,8) en (C,8) ondergroepen zijn van (A,8) door het ondergroepcriterium toe te passen.

 

 

 

 

terug naar de index

 

 

 

 

Uitwerking oefenopgaven

 

Uitwerking oefenopgave 6A1 (terug naar de opgave)

Te bewijzen of weerleggen: "Er zijn oneindig veel priemgetallen".

 

Analyse. Een priemgetal is gedefinieerd als een getal dat uitsluitend deelbaar is door 1 en door zichzelf. Tot de 100 is eenvoudig na te gaan wat de priemgetallen zijn. Maar hoe verder we komen, des te lastiger het wordt om priemgetallen te vinden.  Komt er ooit een einde aan? Tot nu toe nog niet. Er worden steeds weer grotere priemgetallen gevonden. Kijk bijvoorbeeld eens op www.mersenne.org.

 

Aanpak. Stel dat er een grootste priemgetal bestaat. Dan kunnen we deze stelling weerleggen. Laten we "het bewijs uit het ongerijmde" eens proberen. Dus we gaan proberen te bewijzen: "er is een eindig aantal priemgetallen".

 

Bewijs. Stel er is een eindig aantal priemgetallen, zeg p1,p2,…,pn met n. Hierbij is pn het grootste priemgetal.

Neem nu een getal m met . Nu geldt voor elke 1in dat pi geen deler is van m.
Dus
m is OFWEL zelf een priemgetal groter dan pn OFWEL is deelbaar door een priemgetal groter dan pn . Voorbeeld: .

Dus pn is helemaal niet het grootste priemgetal.

 

Conclusie. Er ontstaat tegenspraak. Er zijn dus wèl oneindig veel priemgetallen.

 

 

Uitwerking oefenopgave 6A2 (terug naar de opgave)

Te bewijzen dat voor alle n, n5 geldt: 2n>n2.

 

Analyse. Het linkerlid van de ongelijkheid is een exponentiële functie met grondtal 2. Het rechterlid is een kwadratische functie. Eén van de snijpunten ligt bij n=2. Rechts van n=2 ontwikkelt de exponentiële functie zich sneller dan de kwadratische functie. De stelling lijkt dus wel te kloppen.

 

Aanpak. De stelling bevat een ‘voor alle n’. Dit leent zich voor toepassing van volledige inductie.

 

Bewijs.

NB. Je ziet dat hier enig terugredeneren is toegepast vanuit (k+1)2.

 

Controle:

De te bewijzen stelling geldt voor de initiële waarde n=5. Verder hebben we bewezen dat de stelling, onder de voorwaarde dat hij geldt voor een willekeurige k, k5 ook geldt voor k+1. Daarmee geldt de stelling voor alle n, n5. QED.

 

 

Uitwerking oefenopgave 6A3 (terug naar de opgave)

Te bewijzen: een jampot is vacuüm als er geen lucht meer in zit.

 

Analyse. Iedereen die wel eens zelf jam heeft gemaakt, weet dat je een potje tot aan de rand moet vullen met gekookte jam en dan de deksel er op moet draaien, zodat er geen lucht meer in het potje zit. Als er wel lucht in zit, gaat de jam bederven. Bij het afkoelen van de jam neemt het volume af en ontstaat er onderdruk in de jampot. Zodra je de jampot open doet, hoor je dat het vacuüm wordt opgeheven.

 

Aanpak. Om te bewijzen dat een jampot vacuüm is, kun je dus de jampot open draaien. Maar daarmee hef je meteen het vacuüm op. Je kunt ook proberen om te bewijzen dat er geen lucht meer in zit. Maar ook dan moet je om te kunnen meten het potje open maken en is de proef mislukt.

Misschien kunnen we iets met de contrapositie?

 

Bewijs. Deze stelling heeft de vorm van een implicatie: als er geen lucht meer in het jampotje zit, is hij vacuüm. Let op: in het taalgebruik staat de voldoende voorwaarde soms achter de nodige voorwaarde!

Laten we nu beide proposities eens benoemen:

P = er zit geen lucht meer in het jampotje

Q = het jampotje is vacuüm.

De contrapositie toepassen:

Te bewijzen: het jampotje is niet vacuüm als er lucht in zit.

Dit bewijs is eenvoudig te leveren. Zet het jampotje maar eens op zijn kop, dan zul je zien dat eventuele luchtbellen zich een weg naar boven banen. Dit bewijs is dus te leveren zonder het jampotje open te maken!

 

Controle. We hebben nu de contrapositie bewezen: "het jampotje is niet vacuüm als er lucht in zit". Omdat deze bewering equivalent is met de oorspronkelijke stelling, hebben we daarmee ook de stelling bewezen dat " een jampot is vacuüm als er geen lucht meer in zit". QED.

 

 

Uitwerking oefenopgave 6A4 (terug naar de opgave)

Gegeven A={1,3,5,7}, B={1,3} en C={1,3,5}. (A,8) is een groep.

Bewijs of weerleg dat (B,8) en (C,8) ondergroepen zijn van (A,8) door het ondergroepcriterium toe te passen.

 

Uitwerking

Analyse. Gegeven is dat (A,8) een groep is. Ik kan mij voorstellen dat jij dit ook niet 1-2-3 herkent, dus daarom op een kladblaadje even de volgende groepstabel:

8

1

3

5

7

1

1

3

5

7

3

3

1

7

5

5

5

7

1

3

7

7

5

3

1

Een groepstabel is nog geen bewijs dat dit een groep is, dus ook nog even de volgende controles erbij:

G1: A is gesloten voor de bewerking 8, want in de groepstabel komen alleen elementen van A voor.

G2: de associativiteit van de bewerking 8 in 8wordt geërfd van de associativiteit van de bewerking m in m (zie stelling 4.6.2).

G3: 1 is het neutraal element, want voor iedere aA geldt dat 1 8 a = a en dat a 8 1 = a (toepassen definitie 4.5)

G4: Uit de groepstabel blijkt dat iedere aA zichzelf als inverse heeft.

 

Aanpak. Gevraagd wordt om het ondergroepcriterium toe te passen. Om dit te mogen doen, moet aan alle volgende voldoende voorwaarden zijn voldaan:

 

Bewijs.

8

1

3

1

1

3

3

3

1

Conclusie: (B,8) een ondergroep van (A,8).

 

Nu kijken we naar C. Uit de groepstabel voor C blijkt dat de inverse van b=5 is b-1=5. Nemen we nu a=5, dan zien we dat a*b-1C.

8

1

3

5

1

1

3

5

3

3

1

7

5

5

7

1

Conclusie: C is geen ondergroep van A.

 

Controle. De stelling van Lagrange (staat niet in de studiewijzer, maar mag wel gebruikt worden op het tentamen) zegt dat het aantal elementen van een ondergroep een deler moet zijn van het aantal elementen in de groep. Het is dus logisch dat (C,8) geen ondergroep is van (A,8).